Question

9．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$，g（x）=2^x+a，若?x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]，?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． a≤1
• B． a≥1
• C． a≤2
• D． a≥2

Answer 1

分析 由?x₁∈[-1，2]，都?x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），可得f（x）=x²+1在x₁∈[-1，2]的最小值不小于g（x）=ax+2在x₂∈[1，2]的最小值，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，可得結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，由f（x）=x+$\frac{4}{x}$得，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]單調(diào)遞減，
∴f（1）=5是函數(shù)的最小值，
當(dāng)x₂∈[2，3]時(shí)，g（x）=2^x+a為增函數(shù)，
∴g（2）=a+4是函數(shù)的最小值，
又∵?x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]，都?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），
可得f（x）在x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]的最小值不小于g（x）在x₂∈[2，3]的最小值，
即5≥a+4，解得：a≤1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．