Question

18．如圖，某工業(yè)園區(qū)是半徑為10km的圓形區(qū)域，距離園區(qū)中心O點(diǎn)5km處有一中轉(zhuǎn)站P，現(xiàn)準(zhǔn)備在園區(qū)內(nèi)修建一條筆直公路AB經(jīng)過中轉(zhuǎn)站，公路AB把園區(qū)分成兩個(gè)區(qū)域．
（1）設(shè)中心O對(duì)公路AB的視角為α，求α的最小值，并求較小區(qū)域面積的最小值；
（2）為方便交通，準(zhǔn)備過中轉(zhuǎn)站P在園區(qū)內(nèi)再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長度和的最小值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OA，OB，利用余弦定理求出AB，根據(jù)圓的性質(zhì)求出AB的最值，列出不等式求出α的范圍；使用作差法求出弓形的面積；
（2）過O分別作AB，CD的垂線段OE，OF，設(shè)AB=x，根據(jù)勾股定理和垂徑定理求出CD，AB+CD是關(guān)于x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）連結(jié)OA，OB，則∠AOB=α，OA=OB=10，在△AOB中，由余弦定理得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}-2OA•OBcosα}$=$\sqrt{200-200cosα}$．
∵OP=5，∴當(dāng)OP⊥AB時(shí)，AB取得最小值2$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=10$\sqrt{3}$，當(dāng)AB過圓心O時(shí)，AB取得最大值20，
∴10$\sqrt{3}$≤$\sqrt{200-200cosα}$≤20，解得-1≤cosα≤-$\frac{1}{2}$．∴$\frac{2π}{3}$≤α≤π．∴α的最小值為$\frac{2π}{3}$．
較小區(qū)域面積S（α）=S_扇形OAB-S_△AOB=$\frac{α}{2π}•πO{A}^{2}$-$\frac{1}{2}O{A}^{2}•sinα$=50α-50sinα．∴S′（α）=50-50cosα＞0，
∴S（α）在[$\frac{2π}{3}$，π]上是增函數(shù)，∴S_min（α）=S（$\frac{2π}{3}$）=$\frac{100π}{3}$-25$\sqrt{3}$（km²）．
（2）過O分別作AB，CD的垂線段OE，OF，則四邊形OEPF是矩形，AE=$\frac{AB}{2}$，DF=$\frac{CD}{2}$，設(shè)AB=x，則OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{100-\frac{{x}^{2}}{4}}$，
∴OF=PE=$\sqrt{O{P}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-75}$，∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{175-\frac{{x}^{2}}{4}}$，∴CD=2DF=2$\sqrt{175-\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\sqrt{700-{x}^{2}}$．
∴AB+CD=x+$\sqrt{700-{x}^{2}}$．∴（AB+CD）²=700+2x$\sqrt{700-{x}^{2}}$=700+2$\sqrt{700{x}^{2}-{x}^{4}}$．
令f（x）=700x²-x⁴，則f′（x）=1400x-4x³，令f′（x）=0得x=0（舍）或x=$\sqrt{350}$或x=-$\sqrt{350}$（舍）．
當(dāng)10$\sqrt{3}$≤x＜$\sqrt{350}$時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)$\sqrt{350}$＜x≤20時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在[10$\sqrt{3}$，$\sqrt{350}$]上是增函數(shù)，在[$\sqrt{350}$，20]上是減函數(shù)．
∵f（10$\sqrt{3}$）=120000，f（20）=120000，∴f（x）的最小值為120000．
∴（AB+CD）²的最小值是700+2$\sqrt{120000}$=700+400$\sqrt{3}$=（10$\sqrt{3}$+20）²，∴AB+CD的最小值是10$\sqrt{3}$+20（km）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值問題，在圓中常使用垂徑定理來解決計(jì)算問題．