Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x+1}$，點O為坐標(biāo)原點，點A_n（n，f（n））（n∈N^*），向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），θ_n是向量$\overrightarrow{O{A_n}}$與$\overrightarrow{i}$的夾角，則$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+…+\frac{{cos{θ_{2016}}}}{{sin{θ_{2016}}}}$的值為$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 由題意易得$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進而由裂項相消法可得．

解答 解：由題意可得90°-θ_n是直線OA_n的傾斜角，
$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{sin（90°-{θ}_{n}）}{cos（9{0}^{°}-{θ}_{n}）}$=tan（90°-θ_n）=$\frac{f（n）}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+…+\frac{{cos{θ_{2016}}}}{{sin{θ_{2016}}}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及裂項相消法求和，屬中檔題．