Question

8．在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-2=0相切，則圓C面積的最小值為（　　）

• A． $\frac{π}{5}$
• B． $\frac{π}{10}$
• C． $\frac{4π}{5}$
• D． $\frac{5π}{4}$

Answer 1

分析 由O向直線2x+y-2=0做垂線，垂足為D，當D恰為圓與直線的切點時，圓C的半徑最小，此時圓的直徑為O（0，0）到直線2x+y-2=0的距離，由此能求出圓C面積最小值．

解答 解：∵AB為直徑，∠AOB=90°，
∴O點必在圓C上，
由O向直線2x+y-2=0做垂線，垂足為D，
則當D恰為圓與直線的切點時，圓C的半徑最小，
此時圓的直徑為O（0，0）到直線2x+y-2=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
∴此時圓的半徑r=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴圓C面積最小值S_min=πr²=$\frac{π}{5}$，
故選：A．

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關系，考查圓的面積的最小值的求法，是中檔題．