Question

12．已知數(shù)列{a_n}的首項${a_1}=\frac{2}{3}$，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+1}}$，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明：數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}-1\}$是等比數(shù)列；  
（Ⅱ）數(shù)列 $\{\frac{2^n}{a_n}\}$的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+1}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{{2{a_n}}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}•\frac{1}{a_n}$，變形為$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{2}（\frac{1}{a_n}-1）$，即可證明；另解：設 ${b_n}=\frac{1}{a_n}-1$，則${a_n}=\frac{1}{{{b_n}+1}}$，可得$\frac{1}{{{b_{n+1}}+1}}=\frac{{\frac{2}{{{b_n}+1}}}}{{\frac{1}{{{b_n}+1}}+1}}$，即可證明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}+1$，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+1}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{{2{a_n}}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}•\frac{1}{a_n}$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{2}（\frac{1}{a_n}-1）$，又${a_1}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{a_1}-1=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}-1\}$是以為$\frac{1}{2}$首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．
另解：設 ${b_n}=\frac{1}{a_n}-1$，則${a_n}=\frac{1}{{{b_n}+1}}$，所以$\frac{1}{{{b_{n+1}}+1}}=\frac{{\frac{2}{{{b_n}+1}}}}{{\frac{1}{{{b_n}+1}}+1}}$，
得 2b_n+1=b_n，而${b_1}=\frac{1}{2}$，所以命題得證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{2}•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=\frac{1}{2^n}$，即$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}+1$，
∴$\frac{2^n}{a_n}={2^n}+1$．
∴${T_n}={2^{n+1}}-1+n$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式及其前n項和公式、“取倒數(shù)法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．