Question

8．（1）設圓（x-3）²+（y+5）²=r²上有且只有兩個點到直線4x-3y=2的距離等于1，求r的取值范圍．
（2）若曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤2）與 直線y=k（x-2）+4有兩個交點時，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，由題意得|5-r|＜1，解此不等式求得半徑r的取值范圍．
（2）曲線方程表示的半圓圖形；直線方程變形，判斷出直線過定點；畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求出滿足題意的k的范圍．

解答 解：（1）圓心P（3，-5）到直線4x-3y=2的距離等于 $\frac{|12-3•（-5）-2|}{\sqrt{16+9}}$=5，
由題意可得|5-r|＜1，解得4＜r＜6，
則r的取值范圍為（4，6）；
（2）曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤2）即x²+（y-1）²=4（y≥1）
表示一個以（0，1）為圓心，以2為半徑的位于x軸上方的半圓，如圖所示：
直線y=k（x-2）+4表示恒過點P（2，4），斜率為k的直線．
結(jié)合圖形可得
k_AP=$\frac{4-1}{2+2}$=$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{|4-2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{5}{12}$，即切線的斜率為$\frac{5}{12}$，
∴要使直線與半圓有兩個不同的交點，k的取值范圍是（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．

點評 解決直線與二次曲線的交點問題，常先化簡曲線的方程，一定要注意做到同解變形，數(shù)形結(jié)合解決參數(shù)的范圍問題．