Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦點F（-2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M關于直線y=x+1的對稱點在圓x²+y²=1上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），M關于直線y=x+1的對稱點為V（x₄，y₄）．與橢圓方程聯(lián)立化為3x²+4mx+2m²-8=0．△＞0．可得x₃，y₃．再利用對稱性可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{2}=\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}+1}\\{\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}=-1}\end{array}\right.$，可得x₄，y₄．代入x²+y²=1．解出即可．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=2，a=2$\sqrt{2}$，b=1．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），M關于直線y=x+1的對稱點為V（x₄，y₄）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為3x²+4mx+2m²-8=0．
∴△=96-8m²＞0⇒-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$．
∴x₃=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，y₃=x₃+m=$\frac{m}{3}$．
又$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{2}=\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}+1}\\{\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}=-1}\end{array}\right.$，可得x₄=$\frac{m}{3}-1$，y₄=1-$\frac{2m}{3}$．
∵點V（x₄，y₄）在x²+y²=1上．
∴（$\frac{m}{3}$-1）²+（1-$\frac{2m}{3}$）²=1，
∴5m²-18m+9=0，
∴m=$\frac{3}{5}$或m=3，
經檢驗成立．
∴m=$\frac{3}{5}$或m=3．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、軸對稱的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．