Question

4．已知函數(shù)f（x）滿足xf（x）=mx+f（x）-1（m≠1），且f（x）的對(duì)稱中心為（1，2），則當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）+x的最小值5．

Answer 1

分析 求得f（x）的解析式，由反比例函數(shù)的圖象特點(diǎn)，可得f（x）的對(duì)稱中心（1，m），由題意可得m=2，再由當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）+x=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+3，由基本不等式可得最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足xf（x）=mx+f（x）-1（m≠1），
即有f（x）=$\frac{mx-1}{x-1}$=m+$\frac{m-1}{x-1}$，
由y=$\frac{m-1}{x}$的圖象平移可得y=f（x）的圖象，
而函數(shù)y=$\frac{m-1}{x}$的中心為（0，0），可得y=f（x）的對(duì)稱中心為（1，m），
由題意可得，m=2，
即f（x）=2+$\frac{1}{x-1}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）+x=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+3≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+3=5，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，取得最小值5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用，主要考查對(duì)稱性的判斷和應(yīng)用，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，屬于中檔題．