Question

20．如圖，折疊矩形紙片ABCD，使A點(diǎn)落在邊BC上的E處，折痕的兩端點(diǎn)M、N分別在線段AB和AD上（不與端點(diǎn)重合）．已知AB=2，BC=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，設(shè)∠AMN=θ．
（1）用θ表示線段AM的長(zhǎng)度，并求出θ的取值范圍；
（2）試問(wèn)折痕MN的長(zhǎng)度是否存在最小值，若存在，求出此時(shí)cosθ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出AM，結(jié)合圖象的對(duì)稱性得到方程cos（π-2θ）=$\frac{2-x}{x}$，解出即可，再根據(jù)AM、AB、AN、AD的關(guān)系得到不等式組，解出即可；
（2）先求出MN，通過(guò)換元得到$MN=\frac{1}{{t-{t^3}}}，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，設(shè)$h（t）=t-{t^3}，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出MN的最小值．

解答 解：（1）設(shè)AM=x，由圖形的對(duì)稱性可知：AM=ME=x，∠BME=π-2θ，
∵BM=2-x，∴cos（π-2θ）=$\frac{2-x}{x}$，整理得：x=$\frac{2}{1-cos2θ}$=$\frac{1}{{sin}^{2}θ}$，
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$又∵$\left\{{\begin{array}{l}{AM＜AB}\\{AN＜AD}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}＜2}\\{\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}•tanθ＜\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{sinθ＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{sin2θ＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{3}＜2θ＜\frac{2π}{3}}\end{array}}\right.$，解得：$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$；
（2）在Rt△AMN中，$MN=\frac{x}{cosθ}=\frac{1}{{{{sin}^2}θcosθ}}=\frac{1}{{cosθ-{{cos}^3}θ}}$，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$，
令$t=cosθ，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
∴$MN=\frac{1}{{t-{t^3}}}，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
設(shè)$h（t）=t-{t^3}，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
∴h′（t）=1-3t²=-3（t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（t-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
令h′（t）=0，則t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍），
列表得：

t	$（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
h′（t）	+	0	-
h（t）	增	極大值	減

∴h（t）_max=h（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
∴當(dāng)cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，MN有最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，換元思想，是一道中檔題．