Question

18．已知$\overrightarrow a=（1，5，-1），\overrightarrow b=（-2，3，5）$．
（1）若$（k\overrightarrow a+\overrightarrow b）∥（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）$，求實數k的值
（2）若$（k\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）$，求實數k的值．

Answer 1

分析 （1）根據空間向量的坐標運算以及向量的共線定理，列出方程求出k的值；
（2）根據兩向量垂直，數量積為0，列出方程求出k的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（1，5，-1），\overrightarrow b=（-2，3，5）$，
∴$k\overrightarrow a+\overrightarrow b=（k-2，5k+3，5-k），\overrightarrow a-3\overrightarrow b=（7，-4，-16）$；
又$（k\overrightarrow a+\overrightarrow b）∥（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）$，
∴$\frac{k-2}{7}=\frac{5k+3}{-4}=\frac{5-k}{-16}$，
解得$k=-\frac{1}{3}$；
（2）∵且$（k\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）$，
∴$（k\overrightarrow a+\overrightarrow{b）}•（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）=0$，
即7（k-2）-4（5k+3）-16（5-k）=0，
解得$k=\frac{106}{3}$．

點評 本題考查了空間向量的坐標運算與數量積運算的應用問題，是基礎題目．