Question

9．若0＜y≤x＜$\frac{π}{2}$且tanx=3tany，則x-y的最大值為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 要使x-y最大，只需tan（x-y）最大，利用基本不等式求得tan（x-y）的最大值，可得x-y的最大值．

解答 解：∵0＜y≤x＜$\frac{π}{2}$且tanx=3tany，∴0≤x-y＜$\frac{π}{2}$，要使x-y最大，只需tan（x-y）最大．
又tan（x-y）=$\frac{tanx-tany}{1+tanxtany}$=$\frac{2tany}{1+{3tan}^{2}y}$=$\frac{2}{\frac{1}{tany}+3tany}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)tany=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)，y=$\frac{π}{6}$，tanx=$\sqrt{3}$，x=$\frac{π}{3}$，故x-y的最大值為$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．