Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}-3，x＞0\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程$f（2x+\frac{1}{2}）=m$有3個(gè)不同的解，則m的取值范圍是（-1，0]．

Answer 1

分析 關(guān)于x的方程$f（2x+\frac{1}{2}）=m$有3個(gè)不同的解可化為f（x）=m有三個(gè)不同的解，從而利用數(shù)形結(jié)合求解即可．

解答 解：作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}-3，x＞0\end{array}\right.$的圖象如下，
，
令t=2x+$\frac{1}{2}$，易知對(duì)每一個(gè)t，都有且只有一個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，
故關(guān)于x的方程$f（2x+\frac{1}{2}）=m$有3個(gè)不同的解可化為f（x）=m有三個(gè)不同的解，
結(jié)合圖象可知，
當(dāng)-1＜m≤0時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}-3，x＞0\end{array}\right.$與y=m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
故答案為（-1，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的圖象與方程的根的關(guān)系應(yīng)用．