Question

12．公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前5項和為-20，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}前n項和．

Answer 1

分析 （1）設數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），{b_n}的公比為q，由等差數(shù)列的前n項和公式、性質(zhì)求出a₃=-2，結合條件利用等比、等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出方程組的解，由等差數(shù)列的通項公式求出a_n；
（2）由（1）和等比數(shù)列的前n項和公式求出數(shù)列{b_n}前n項和．

解答 解：（1）設數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），{b_n}的公比為q，
∵等差數(shù)列{a_n}的前5項和為-20，
∴$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}=-20$，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a₃=-2，
∵b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₄，
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}={a}_{1}}\\{{a}_{1}+2d=-2}\\{_{1}q=-2}\\{_{1}{q}^{2}=-2+d}\end{array}\right.$，解得b₁=a₁=-4，d=1，q=$\frac{1}{2}$，
則a_n=a₁+（n-1）d=n-5；
（2）由（1）得，b₁=-4，q=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}前n項和S_n=$\frac{_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{-4[1-{（\frac{1}{2}）}^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=-8+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$．

點評 本題等比、等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想和化簡、計算能力，屬于中檔題．