Question

12．公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)和為-20，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），{b_n}的公比為q，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)求出a₃=-2，結(jié)合條件利用等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出方程組的解，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（2）由（1）和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），{b_n}的公比為q，
∵等差數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)和為-20，
∴$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}=-20$，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a₃=-2，
∵b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₄，
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}={a}_{1}}\\{{a}_{1}+2d=-2}\\{_{1}q=-2}\\{_{1}{q}^{2}=-2+d}\end{array}\right.$，解得b₁=a₁=-4，d=1，q=$\frac{1}{2}$，
則a_n=a₁+（n-1）d=n-5；
（2）由（1）得，b₁=-4，q=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和S_n=$\frac{_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{-4[1-{（\frac{1}{2}）}^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=-8+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想和化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．