Question

12．求證：函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義利用定義法進(jìn)行證明即可．

解答 解：任取x₁，x₂∈（$\sqrt{a}$，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{a}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{a}{{x}_{1}}$-$\frac{a}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-a}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
因?yàn)?\sqrt{a}$＜x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，x₂x₁＞$\sqrt{a}•\sqrt{a}$=a，
則x₁x₂-a＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．