Question

3．如圖，對稱軸為直線x=1的拋物線交x軸于點A、B，交y軸于點C（0，3），且S_△ABC=6．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）直線y=kx+1交x軸于點D，交y軸于點E，交拋物線于點F、G，在y軸上是否存在點P，使得以P、C、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出k的值及點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點Q，使得OQ、AC、BC三條直線所圍成的三角形與△DOE相似？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設A，B點坐標，設f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），列出方程組解出x₁，x₂，a；
（2）將y=kx+1與二次函數(shù)解析式聯(lián)立，求出F，G連點坐標的關系，假設存在點P，則E為FG和PC的中點，根據中點坐標公式列方程解出k和P點坐標；
（3）求出∠ACB，判斷是否與Rt△ODE中的某個角相等，根據相似關系得出OQ與AC或BC的關系，列方程組求出Q坐標．

解答 解：（1）設A（x₁，0），B（x₂，0），拋物線解析式為f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{a{x}_{1}{x}_{2}=3}\\{{x}_{2}-{x}_{1}=4}\end{array}\right.$，
解得a=-1，x₁=-1，x₂=3．
∴拋物線的解析式為f（x）=-（x+1）（x-3）．
（2）假設在y軸上存在點P使得以P、C、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，
則E為平行四邊形PFCG的對角線交點．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$得：x²+（k-2）x-2=0．
設F（x₁，y₁），G（x₂，y₂），則x₁+x₂=2-k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=-k²+2k+2，
∵E（0，1）是FG中點，∴$\left\{\begin{array}{l}{2-k=0}\\{-{k}^{2}+2k+2=2}\end{array}\right.$，解得k=2．
．∵E（0，1），C（0，3），∴P（0，-1）．
（3）k=2時，D（-$\frac{1}{2}$，0），OD=$\frac{1}{2}$，OE=1，∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴cos∠ODE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠OED=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，AB=4，∴cos∠ACB=$\frac{10+18-16}{2×\sqrt{10}×3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴∠ACB=∠ODE，
∴拋物線上存在點Q，使得OQ、AC、BC三條直線所圍成的三角形與△DOE相似．
∵OD⊥OE，∴OQ⊥AC或OQ⊥BC．
直線AC方程為y=3x+3，直線BC方程為y=-x+3．
①若OQ⊥AC，則直線OQ方程為y=-$\frac{1}{3}x$，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7+\sqrt{157}}{6}}\\{y=-\frac{7+\sqrt{157}}{18}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7-\sqrt{157}}{6}}\\{y=-\frac{7-\sqrt{157}}{18}}\end{array}\right.$．
②若OQ⊥BC，則OQ方程為y=x．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$，解得x=y=$\frac{1±\sqrt{13}}{2}$．
∴Q（$\frac{7+\sqrt{157}}{6}$，-$\frac{7+\sqrt{157}}{18}$）或Q（$\frac{7-\sqrt{157}}{6}$，-$\frac{7-\sqrt{157}}{18}$）或Q（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或Q（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求解析式，直線與拋物線的位置關系與綜合計算，屬于中檔題．