Question

17．已知正四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上底面A₁B₁C₁D₁邊長(zhǎng)為1，下底面ABCD邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則異面直線AD₁與B₁C所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 連結(jié)A₁C₁，B₁D₁，交于點(diǎn)O₁，連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AD₁與B₁C所成角的余弦值．

解答 解：∵正四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上底面A₁B₁C₁D₁邊長(zhǎng)為1，下底面ABCD邊長(zhǎng)為2，
連結(jié)A₁C₁，B₁D₁，交于點(diǎn)O₁，連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，
∴OB=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，${O}_{1}{B}_{1}=\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵側(cè)棱與底面所成的角為60°，∴BB₁=2（OB-O₁B₁）=2（$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$，
∴OO₁=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（$\sqrt{2}，0，0$），D₁（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B₁（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{6}}{2}$），C（-$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
設(shè)異面直線AD₁與B₁C所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{|2+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}|}{\sqrt{2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}•\sqrt{2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}}$=$\frac{1}{4}$．
∴異面直線AD₁與B₁C所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．