分析 連結(jié)A1C1,B1D1,交于點(diǎn)O1,連結(jié)AC、BD,交于點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OO1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線AD1與B1C所成角的余弦值.
解答 解:∵正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1邊長(zhǎng)為1,下底面ABCD邊長(zhǎng)為2,
連結(jié)A1C1,B1D1,交于點(diǎn)O1,連結(jié)AC、BD,交于點(diǎn)O,
∴OB=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$,${O}_{1}{B}_{1}=\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵側(cè)棱與底面所成的角為60°,∴BB1=2(OB-O1B1)=2($\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$)=$\sqrt{2}$,
∴OO1=$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OO1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
A($\sqrt{2},0,0$),D1(0,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}$),B1(0,$\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}$),C(-$\sqrt{2}$,0,0),
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=(-$\sqrt{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}$),$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=(-$\sqrt{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{6}}{2}$),
設(shè)異面直線AD1與B1C所成角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{|2+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}|}{\sqrt{2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}•\sqrt{2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}}$=$\frac{1}{4}$.
∴異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$.
故答案為:$\frac{1}{4}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | a=±1 | B. | f(x1+x2)=0 | ||
C. | |x1+x2|的最小值為$\frac{2π}{3}$ | D. | f(x)的最小正周期為2|x1-x2| |
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A. | {x|1≤x≤2} | B. | {x|0<x≤1} | C. | {x|-1≤x≤0} | D. | {x|x≤2} |
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