Question

1．正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n²=（n²-n）S_n+n³
（1）求a_n；
（2）記數(shù)列{$\frac{1}{n{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，用數(shù)學(xué)歸納法證明：T_n≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2n（n+1）}$對(duì)一切n∈N^*都成立．

Answer 1

分析 （1）由于正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足S_n²=（n²-n）S_n+n³，可得$（{S}_{n}-{n}^{2}）$（S_n+n）=0，S_n=n²．再利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）S_n=n²．可得$\frac{1}{n{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{3}}$，證明：T_n≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2n（n+1）}$對(duì)一切n∈N^*都成立．即證明：$1+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{n}^{3}}$≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2n（n+1）}$對(duì)一切n∈N^*都成立，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 （1）解：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足S_n²=（n²-n）S_n+n³，
∴$（{S}_{n}-{n}^{2}）$（S_n+n）=0，
∴S_n=n²．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴a_n=2n-1．
（2）證明：S_n=n²．
$\frac{1}{n{S}_{n}}$=$\frac{1}{n•{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{3}}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{n{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=$1+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{n}^{3}}$．
∴證明：T_n≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2n（n+1）}$對(duì)一切n∈N^*都成立．
即證明：$1+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{n}^{3}}$≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2n（n+1）}$對(duì)一切n∈N^*都成立．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，1≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$=1，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時(shí)成立，即$1+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{k}^{3}}$≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2k（k+1）}$成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=$1+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{k}^{3}}$+$\frac{1}{（k+1）^{3}}$≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）^{3}}$．
下面證明：$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）^{3}}$≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2（k+1）（k+2）}$．
∵$\frac{1}{2（k+1）（k+2）}$-$\frac{1}{2k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）^{3}}$=$\frac{1}{（k+1）^{3}}$-$\frac{1}{k（k+1）（k+2）}$=$\frac{1}{k+1}$$[\frac{1}{（k+1）^{2}}-\frac{1}{k（k+2）}]$＜0，
∴$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）^{3}}$≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2（k+1）（k+2）}$成立．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊≤右邊．
綜上可得：T_n≤$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2n（n+1）}$對(duì)一切n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．