Question

14．設(shè)極坐標與直角坐標系xOy有相同的長度單位，原點O為極點，x軸坐標軸為極軸，曲線C₁的極坐標方程為ρ²cos2θ+3=0，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+m}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)，m是常數(shù)）．
（Ⅰ）求C₁的直角坐標方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）若C₁與C₂有兩個不同的公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的極坐標方程為ρ²cos2θ+3=0，即ρ²（cos²θ-sin²θ）+3=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐標方程．曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+m}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)，m是常數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．
（II）把x=2y+m代入雙曲線方程可得：3y²+4my+m²+3=0，由于C₁與C₂有兩個不同的公共點，△＞0，可解得m的取值范圍．

解答 解：（I）曲線C₁的極坐標方程為ρ²cos2θ+3=0，即ρ²（cos²θ-sin²θ）+3=0，可得直角坐標方程：x²-y²+3=0．
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+m}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)，m是常數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x-2y-m=0．
（II）把x=2y+m代入雙曲線方程可得：3y²+4my+m²+3=0，由于C₁與C₂有兩個不同的公共點，
∴△=16m²-12（m²+3）＞0，解得m＜-3或m＞3，
∴m＜-3或m＞3．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．