Question

5．設命題p：方程$\frac{x^2}{1-m}+\frac{y^2}{m+4}=1$所表示的軌跡是雙曲線；
命題q：函數(shù)f（x）=3x²+2mx+（m+6）有兩個零點．
當“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 方程$\frac{x^2}{1-m}+\frac{y^2}{m+4}=1$表示的圖象是雙曲線，求出m＜-4或m＞1，得到命題p：m＜-4或m＞1．方程3x²+2mx+（m+6）=0在R上有兩個不等實數(shù)解．求出命題q：m＜-3或m＞6，然后利用當“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，說明p與q一真一假，列出不等式求解即可．

解答 解：對于命題p：因為方程$\frac{x^2}{1-m}+\frac{y^2}{m+4}=1$表示的圖象是雙曲線
所以（1-m）（m+4）＜0所以m＜-4或m＞1
則命題p：m＜-4或m＞1．                    …（3分）
對于命題q，方程3x²+2mx+（m+6）=0在R上有兩個不等實數(shù)解．
所以△=（2m）²-4×3×（m+6）＞0，
即m²-3m-18＞0所以m＜-3或m＞6
則命題q：m＜-3或m＞6…（6分）
當“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
則p與q一真一假p真假$\left\{\begin{array}{l}m＜-4或m＞1\\-3≤m≤6\end{array}\right.$，可得：1＜m≤6；
$\left\{\begin{array}{l}-4≤m≤1\\ m＜-3或m＞6\end{array}\right.$可得-4≤m＜-3．
所以   1＜m≤6或-4≤m＜-3…（10分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，函數(shù)的零點，命題的真假的判斷與應用，考查邏輯推理能力以及計算能力．