15.已知曲線C上的點到定點F(0,$\frac{P}{2}$)(p>0)與到定直線y=-$\frac{P}{2}$的距離相等,A是曲線C上第一象限內(nèi)的點,在點A處的切線l1與x、y軸分別交于D、Q兩點,且|FD|=2,∠AFD=60°.
(1)求曲線C的方程;
(2)求∠FAD的角平分線所在的直線方程.

分析 (1)求出切線方程,可得D的坐標,利用|FD|=2,建立方程,根據(jù)∠AFD=60°,|FD|=2,|AF|=4,建立方程,即可求曲線C的方程;
(2)求出∠FAD的角平分線所在的直線的斜率,即可求∠FAD的角平分線所在的直線方程.

解答 解:(1)由題意,設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0),∴y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$,
∴y′=$\frac{x}{p}$,
設(shè)A(m,n)(m>0,n>0),則切線方程為y-n=$\frac{m}{p}$(x-m),
∴D($\frac{m}{2}$,0),∴$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{p}^{2}}{4}}$=2①,
∵kFD=-$\frac{p}{m}$,∴AD⊥DF
∵∠AFD=60°,|FD|=2,∴|AF|=4,
∴n+$\frac{p}{2}$=4②,
由①②可得p=2,n=3,m=2$\sqrt{3}$,
∴曲線C的方程為x2=4y;
(2)設(shè)∠FAD的角平分線所在的直線的斜率為k,則
由(1)可知A(2$\sqrt{3}$,3),F(xiàn)(0,1),D($\sqrt{3}$,0)
∵kAD=$\sqrt{3}$,∠DAF=60°,
∴tan30°=$\frac{\sqrt{3}-k}{1+\sqrt{3}k}$,∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠FAD的角平分線所在的直線方程為y-3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x-2$\sqrt{3}$),即x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$=0.

點評 本題考查拋物線的方程,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查直線方程,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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