Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （1，2]
• C． （1，$\sqrt{3}$]
• D． （1，3]

Answer 1

分析 首先利用雙曲線的定義求出關(guān)系式，進(jìn)一步利用均值不等式建立關(guān)系式，$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+m）^{2}}{m}$=$\frac{4{a}^{2}}{m}$+4a+m≥8a，最后求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)|PF₂|=m，（m≥c-a）
則：根據(jù)雙曲線的定義：|PF₁|=2a+m，
所以$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+m）^{2}}{m}$=$\frac{4{a}^{2}}{m}$+4a+m≥8a當(dāng)且僅當(dāng)m=2a時(shí)成立．
所以：c-a≤2a
即解得：1＜e≤3
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：雙曲線的定義的應(yīng)用．雙曲線的離心率，均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題型．