Question

7．（1+x+x²）²=1+2x+3x²+2x³+x⁴
（1+x+x²）³=1+3x+6x²+7x³+6x⁴+3x⁵+x⁶
（1+x+x²）⁴=1+4x+10x²+16x³+19x⁴+16x⁵+10x⁶+4x⁷+x⁸
  …
觀察上述等式，由以上等式推測(cè)：對(duì)于n∈N﹡，若（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ，則 a_2n-2=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 觀察上述等式，得出等式右邊展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)具有對(duì)稱性，且第三項(xiàng)分別為：1，3，6，10，…，求出a₂即得a_2n-2的值．

解答 解：1+x+x²=1+x+x²
（1+x+x²）²=1+2x+3x²+2x³+x⁴
（1+x+x²）³=1+3x+6x²+7x³+6x⁴+3x⁵+x⁶
（1+x+x²）⁴=1+4x+10x²+16x³+19x⁴+16x⁵+10x⁶+4x⁷+x⁸
  觀察上述等式，知：
等式右邊展開(kāi)式中的第三項(xiàng)分別為：1，3，6，10，…，
即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…
根據(jù)已知可以推斷：
第n（n∈N^*）個(gè)等式中a₂為：
1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
所以a_2n-2=a₂=$\frac{n（n+1）}{2}$．
故答案為：$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理的應(yīng)用問(wèn)題，其步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．