Question

2．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2015}$|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“海寶”函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=x²；②f（x）=sinx+cosx；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=3^x+1
其中f（x）是“海寶”函數(shù)的序號(hào)為③．

Answer 1

分析 結(jié)合題中的新定義，取x=0時(shí)，可排除②④，對(duì)①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常數(shù)k，
③中整理可得：$\frac{2015}{{x}^{2}+x+1}$≤k，只需求出$\frac{2015}{{x}^{2}+x+1}$的最大值即可．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，
②中f（0）=1，④中f（0）=2顯然不成立，故不是“海寶”函數(shù)；
①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常數(shù)k，使對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故不是“海寶”函數(shù)；
③中整理可得：$\frac{2015}{{x}^{2}+x+1}$≤k，對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，
∵x²+x+1≥$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{2015}{{x}^{2}+x+1}$≤$\frac{8060}{3}$，
∴k≥$\frac{8060}{3}$，故③正確．
故答案為 ③

點(diǎn)評(píng) 考查新定義，需對(duì)新定義理解透徹，利用新定義逐一判斷．