Question

10．函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①②④
①f（x）=x²（x≥0）；   
②f（x）=2^x（x∈R）；
③f（x）=$\frac{4x}{{{x^2}+1}}$（x≥0）；
④$f（x）={log_a}（{a^x}-\frac{1}{8}）（a＞0，a≠1）$．

Answer 1

分析 利用“倍值區(qū)間”的意義，只要方程f（x）=2x在定義域內(nèi)存在兩個不同實數(shù)根即可得出．

解答 解：①假設(shè)函數(shù)f（x）存在“倍值區(qū)間”[a，b]，由于x≥0，∴函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，令x²=2x，解得x=0，2，∴[0，2]是函數(shù)f（x）的“倍值區(qū)間”；
同理可得：②存在“倍值區(qū)間”[1，2]；③不存在“倍值區(qū)間”．
④假設(shè)函數(shù)f（x）存在“倍值區(qū)間”[a，b]，令$lo{g}_{a}（{a}^{x}-\frac{1}{8}）$=2x，化為8（a^x）²-8a^x+1=0，∵△=64-32=32＞0，解得a^x=$\frac{2±\sqrt{2}}{4}$，因此x有兩個不同的實數(shù)值滿足方程．∴假設(shè)正確．
綜上可得：只有①②④存在“倍值區(qū)間”．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了系新定義“倍值區(qū)間”、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．