Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx（a＞0）．若函數(shù)f（x）在[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（0，$\frac{2}{5}$]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）在[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，得到x∈[1，2]時，f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$≥0恒成立，或f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$≤0恒成立，分離參數(shù)a后引入新的輔助函數(shù)h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，由單調(diào)性求得其在[1，2]上的最值得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx，得f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，
∴x∈[1，2]時，f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$≥0恒成立，或f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$≤0恒成立，
即$\frac{3}{a}≥4x-\frac{1}{x}$對x∈[1，2]恒成立，或$\frac{3}{a}≤4x-\frac{1}{x}$對x∈[1，2]恒成立．
設(shè)h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，
∵函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴$\frac{3}{a}≥$h（2）=4×2-$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$①，或$\frac{3}{a}≤h（1）=4×1-1=3$②．
解①得，0＜a≤$\frac{2}{5}$，解②得，a≥1．
∴a的取值范圍是（0，$\frac{2}{5}$]∪[1，+∞）．
故答案為：（0，$\frac{2}{5}$]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．