Question

4．若函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x）在$[\frac{1}{2}{，_{\;}}3]$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可得．

解答 解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，令t=ax²-x，
則由題意可得函數(shù)t在區(qū)間$[\frac{1}{2}{，_{\;}}3]$上單調(diào)遞增，且t＞0，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}＞0}\end{array}\right.$，解得a＞2，
綜合可得a＞2；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則由題意可得函數(shù)t在區(qū)間$[\frac{1}{2}{，_{\;}}3]$上單調(diào)遞減，且t＞0，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥3}\\{9a-3＞0}\end{array}\right.$，解得a∈∅，故此時(shí)滿足條件的a不存在．
綜合（1）（2）可得a＞2
故答案為：（2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，涉及分類討論思想和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．