Question

19．設(shè)f（x）=e^x（ax²-7x+13），其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l與直線l′：2ex-y+e=0平行．
（1）求a的值及切線l方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得：f′（x）=e^x[ax²+（2a-7）x+6]，可得切線l的斜率為f′（1），利用相互平行的斜率之間的關(guān)系可得a．再利用點斜式即可得出切線的方程．
（2）分別解出f′（x）≥0，f′（x）＜0，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x（ax²-7x+13）+e^x（2ax-7）=e^x[ax²+（2a-7）x+6]，
∴切線l的斜率為f′（1）=e（3a-1）．
又l′直線的斜率為2e，且直線l′與切線l平行．
∴e（3a-1）=2e．
即a=1，
∴f（1）=7e，切點為（1，7e），
∴切線l方程為y-7e=2e（x-1），即2ex-y+5e=0．
（2）由（Ⅰ）知a=1，
∴f（x）=e^x（x²-7x+13），
∴f′（x）=e^x（x²-5x+6）=e^x（x-2）（x-3），
由f′（x）≥0，解得x≤2或x≥3，
由f′（x）＜0，解得2＜x＜3，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，2），（3，+∞），減區(qū)間為（2，3）．
∴f（x）的極大值為f（2）=3e²，
∴f（x）的極小值為f（3）=e³．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、幾何意義、切線的斜率與方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．