Question

6．某建筑工地在施工過(guò)程中，為了保護(hù)一口直徑為1米的圓形古井M，決定將其圍起來(lái)，工地上現(xiàn)有一塊長(zhǎng)為2米（寬為1.2米）的木工板AB可利用，現(xiàn)將其圍成高1.2米的圍擋，如圖，圓M與AB，PA，PB（PA，PB為另外兩側(cè)的圍擋）均相切．
（1）若PA=PB，計(jì)算△PAB的面積；
（2）問(wèn)：至少還需要添置多長(zhǎng)的木工板．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，設(shè)C，D，E分別為切點(diǎn)，設(shè)PD=x，OD=$\frac{1}{2}$，AC=BC=1．則OP=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{x}^{2}}$．可得S_△APB=$\frac{1}{2}PC•AB$=$\frac{1}{2}$•OD•（PA+PB+AB），解出即可得出．
（2）設(shè)AC=x，BC=y，PD=z，則x+y=2，S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（4+2z）=$\frac{1}{2}$（2+z），另一方面：S_△PAB=$\sqrt{p[p-（x+y）][p-（x+z）][p-（y+z）]}$，其中p=$\frac{2+x+y+2z}{2}$=2+z．化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，
設(shè)C，D，E分別為切點(diǎn)，
設(shè)PD=x，OD=$\frac{1}{2}$，AC=BC=1．
則OP=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+{x}^{2}}$．
∴S_△APB=$\frac{1}{2}PC•AB$=$\frac{1}{2}$•OD•（PA+PB+AB），
∴$（\sqrt{\frac{1}{4}+{x}^{2}}+\frac{1}{2}）$•2=$\frac{1}{2}×$（2x+2+2），
化為：3x²-2x=0，
解得x=$\frac{2}{3}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$（\frac{4}{3}+4）$=$\frac{4}{3}$．
（2）設(shè)AC=x，BC=y，PD=z，則x+y=2，
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（4+2z）=$\frac{1}{2}$（2+z），
另一方面：S_△PAB=$\sqrt{p[p-（x+y）][p-（x+z）][p-（y+z）]}$=$\sqrt{（2+z）z（2-x）（2-y）}$=$\sqrt{（2+z）zxy}$．其中p=$\frac{2+x+y+2z}{2}$=2+z．
∴$\frac{1}{2}$（2+z）=$\sqrt{（2+z）zxy}$，
化為$\frac{1}{4}$$（\frac{2}{z}+1）$=xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$=1．
解得z$≥\frac{2}{3}$．
PA+PB=x+z+y+z=2+2z≥$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相切、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．