Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且過(guò)點(diǎn)（0，$\sqrt{3}$）．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）橢圓的左頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，已知直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），線段PQ的中點(diǎn)為M，線段PQ的中垂線交x軸于點(diǎn)N，若P，M，N，F(xiàn)₂四點(diǎn)共圓，且$\overrightarrow{AN}$=$\frac{9}{5}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合隱含條件得到關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AN}$=$\frac{9}{5}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$求得N點(diǎn)坐標(biāo)，再由P，M，N，F(xiàn)₂四點(diǎn)共圓得到PF₂⊥NF₂，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合MN與直線l垂直求得直線的斜率得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）如圖，
由題意方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得A（-2，0），F(xiàn)₁（-1，0），
設(shè)N（m，0），則$\overrightarrow{AN}=（m+2，0）$，$\overrightarrow{{F}_{1}N}=（m+1，0）$，
由$\overrightarrow{AN}$=$\frac{9}{5}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，得（m+2，0）=$\frac{9}{5}（m+1，0）$，解得N（$\frac{1}{4}，0$），
又P，M，N，F(xiàn)₂四點(diǎn)共圓，且PM⊥MN，可得PF₂⊥NF₂，
則P（1，$\frac{^{2}}{a}$）=P（1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線l的方程為y-$\frac{3}{2}=k（x-1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-（8k²-12k）x+4k²-12k-3=0．
∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∴M（$\frac{4{k}^{2}-6k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{9-6k}{2（3+4{k}^{2}）}$），
∴${k}_{MN}=\frac{\frac{9-6k}{2（3+4{k}^{2}）}}{\frac{4{k}^{2}-6k}{3+4{k}^{2}}-\frac{1}{4}}=\frac{6-4k}{4{k}^{2}-8k-1}$，
由$\frac{6-4k}{4{k}^{2}-8k-1}•k=-1$，得k=-$\frac{1}{2}$．
∴直線l的方程為y-$\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，對(duì)于（Ⅱ）的求解，能由P，M，N，F(xiàn)₂四點(diǎn)共圓得到PF₂⊥NF₂是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．