Question

6．設全集U=R，集合$A=\left\{{x\left|{{{log}_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}-9x+19}）≤0}\right.}\right\}$，$B=\left\{{x\left|{\frac{1}{4}＜{2^x}≤32}\right.}\right\}$．
（1）求A，B，（∁_UA）∩B；
（2）已知C={x|a≤x＜a+1}，若B∪C=C，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求解對數(shù)不等式和指數(shù)不等式化簡集合A，B，然后利用補集和交集運算求得（∁_UA）∩B；
（2）由B∪C=C，得B⊆C，然后利用兩集合端點值間的關(guān)系列不等式組求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-9x+19）≤0$，得x²-9x+19≥1，
即x²-9x+18≥0，解得x≤3或x≥6．
∴A={x|x≤3或x≥6}；
由$\frac{1}{4}＜{2}^{x}≤32$，解得：-2＜x≤5．
∴B={x|-2＜x≤5}；
∴∁_UA={x|3＜x＜6}，
（∁_UA）∩B={x|3＜x≤5}；
（2）C={x|a≤x＜a+1}，
若B∪C=C，則B⊆C，
得$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2}\\{a+1＞5}\end{array}\right.$，解得a∈∅．

點評 本題考查對數(shù)不等式和指數(shù)不等式的解法，考查了交、并、補集的混合運算，考查集合間的包含關(guān)系及其應用，關(guān)鍵是對兩集合端點值間的關(guān)系的處理，是中檔題．