Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-2|．
（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；
（2）已知a＞2，求證：?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．

Answer 1

分析 （1）f（x+1）+f（x+2）＜4，即|x-1|+|x|＜4，利用零點分段法求出各段上的解，綜合可得答案；
（2）由a＞2，結(jié)合絕對值的性質(zhì)，可得?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．

解答 解：（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，
即|x-1|+|x|＜4，
①當(dāng)x≤0時，不等式為1-x-x＜4，即$x＞-\frac{3}{2}$，
∴$-\frac{3}{2}＜x≤0$是不等式的解；
②當(dāng)0＜x≤1時，不等式為1-x+x＜4，即1＜4恒成立，
∴0＜x≤1是不等式的解；
③當(dāng)x＞1時，不等式為x-1+x＜4，即$x＜\frac{5}{2}$，
∴$1＜x＜\frac{5}{2}$是不等式的解．
綜上所述，不等式的解集為$（{-\frac{3}{2}，\;\;\frac{5}{2}}）$．…（5分）
證明：（2）∵a＞2，
∴f（ax）+af（x）=|ax-2|+a|x-2|=|ax-2|+|ax-2a|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|＞2，
∴?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．…（10分）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，絕對值不等式的證明與求解，難度中檔．