Question

18．已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，P為棱A₁B₁上一點(diǎn)，BC=10，CD=10，CC₁=4，則AP+PC₁的最小值為$2\sqrt{74}$．

Answer 1

分析 長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱A₁B₁上一動(dòng)點(diǎn)，求AP+PC₁的最小值可將以A₁B₁為相交棱的兩個(gè)側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)平面，從平面上可以看出當(dāng)三點(diǎn)A、P、C₁在一條直線上時(shí)，AP+PC₁的值最小，此時(shí)線段恰好是直角三角形的斜邊．由勾股定理求值即可．

解答 解：將長(zhǎng)方體的側(cè)面沿棱A₁B₁展開(kāi)成一個(gè)平面，則AP+PC₁的最小值即為線段AC₁的值，
又BC=10，CD=10，CC₁=4，故直角三角形ABC₁中兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為BC₁=14，AB=10，
由勾股定理得AC₁=$\sqrt{{14}^{2}+{10}^{2}}$=2$\sqrt{74}$，
即AP+PC₁的最小值為2$\sqrt{74}$．
故答案為：$2\sqrt{74}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查對(duì)長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)特征的了解，本題把求拆線長(zhǎng)度的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍髢牲c(diǎn)間距離的問(wèn)題，將一個(gè)立體幾何中求長(zhǎng)度的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中兩點(diǎn)線段的長(zhǎng)度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化歸的思想，立體幾何中的問(wèn)題有不少都是借助化歸思想將空間中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面中解決，大大降低了解題的難度．