Question

5．中國海警緝私船對一艘走私船進(jìn)行定位：以走私船的當(dāng)前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長度）．中國海警緝私船恰在走私船正南方18海里A處（如圖）．現(xiàn)假設(shè)：①走私船的移動路徑可視為拋物線y=$\frac{9}{28}$x²；②定位后中國海警緝私船即刻沿直線勻速前往追埔；③中國海警緝私船出發(fā)t小時后，走私船所在的位置的橫坐標(biāo)為2$\sqrt{7}$t．
（1）當(dāng)t=1，寫出走私船所在位置P的縱坐標(biāo)，若此時兩船恰好相遇，求中國海警緝私船速度的大��；
（2）問中國海警緝私船的時速至少是多少海里才能追上走私船？

Answer 1

分析 （1）t=1時，確定P的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程可得P的縱坐標(biāo)，利用|AP|，即可確定中國海警緝私船速度的大小；
（2）設(shè)中國海警緝私船的時速為v海里，經(jīng)過t小時追上走私船，此時位置為（2$\sqrt{7}$t，9t²），從而可得v關(guān)于t的關(guān)系式，利用基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）t=1時，P的橫坐標(biāo)x_P=2$\sqrt{7}$，代入拋物線方程y=$\frac{9}{28}$x²中，得P的縱坐標(biāo)y_P=9．
由A（0，-18），可得|AP|=$\sqrt{757}$，得中國海警緝私船速度的大小為$\sqrt{757}$海里/時；
（2）設(shè)中國海警緝私船的時速為v海里，經(jīng)過t小時追上走私船，此時位置為（2$\sqrt{7}$t，9t²）．
由vt=|AP|=$\sqrt{81（{t}^{4}+4）+352{t}^{2}}$，整理得v²=81（t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$）+352
因為t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{2}$時等號成立，所以v²≥81×4+352=26²，即v≥26．
因此，中國海警緝私船的時速至少是26海里才能追上走私船．

點評 本題主要考查函數(shù)模型的選擇與運用．選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．