Question

19．函數(shù)f（x）=（1-x）|x-3|在（-∞，a]上取得最小值-1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． $[{2-\sqrt{2}，\;2}]$
• C． $[{2，\;2+\sqrt{2}}]$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由零點(diǎn)分段法，我們可將函數(shù)f（x）=（1-x）|x-3|的解析式化為分段函數(shù)的形式，然后根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而結(jié)合圖象數(shù)形結(jié)合，可得實(shí)數(shù)a的集合

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（1-x）|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x≥3}\\{{x}^{2}-4x+3，x＜3}\end{array}\right.$，
其函數(shù)圖象如下圖所示：
由函數(shù)圖象可得：
函數(shù)f（x）=（1-x）|x-3|在（-∞，a]上取得最小值-1，
當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=-x²+4x-3=-1，解得x=2+$\sqrt{2}$，
當(dāng)x＜3時(shí)，f（x）=x²-4x+3=-1，解得x=2，
實(shí)數(shù)a須滿足2≤a≤2+$\sqrt{2}$．
故實(shí)數(shù)a的集合是[2，2+$\sqrt{2}$]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，其中根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則，畫出函數(shù)的圖象是解答本題的關(guān)鍵．