Question

7．在拋物線y²=2px（p＞0）中有如下結論：過焦點F的動直線l交拋物線y²=2px（p＞0）于A、B兩點，則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=f（x）為定值，請把此結論類比到橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$中有：過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點F的直線交橢圓于A，B則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2a}{b^2}$為定值；當橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1時，$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由類比推理，來得到關于橢圓的類似結論，易知在橢圓中有“$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2a}{b^2}$”求解即可．

解答 解：過焦點F的動直線l交拋物線y²=2px（p＞0）于A、B兩點，則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2}{p}$，
類比到橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$中有：過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點F的直線交橢圓于A，B 則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2a}{b^2}$為定值，當橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1時，$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{4}{3}$．
故答案為：過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點F的直線交橢圓于A，B 則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2a}{b^2}$為定值；$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查類比推理，可以先猜測在拋物線中成立的命題在橢圓里面也成立．再計算在這個具體的橢圓里面所求的定值．關于橢圓的一個恒等式：“$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2a}{b^2}$”是一個經常用到的式子，在以后的學習過程中希望大家多總結．