Question

18．求函數(shù)y=12$\sqrt{19-x}$+5$\sqrt{x-10}$的最大值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域，利用三角換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用輔助角公式結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{19-x≥0}\\{x-10≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≤19}\\{x≥10}\end{array}\right.$．即10≤x≤19，
∵19-x+x-10=9，
∴$\frac{19-x}{9}$+$\frac{x-10}{9}$=1，
設(shè)$\frac{19-x}{9}$=sin²θ，則$\frac{x-10}{9}$=cos²θ，0≤θ≤$\frac{π}{2}$，
則19-x=9sin²θ，x-10=9cos²θ，
則y=12$\sqrt{19-x}$+5$\sqrt{x-10}$=12$\sqrt{9sin^2θ}$+5$\sqrt{9cos^2θ}$=3×12sinθ+3×5cosθ
=39（$\frac{12}{13}$sinθ+$\frac{5}{13}$cosθ），
令cosα=$\frac{12}{13}$，則sinα=$\frac{5}{13}$，
則函數(shù)等價(jià)為y=39（sinθcosα+cosθsinα）=39sin（θ+α），
∴當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，函數(shù)取得最大值此時(shí)為39．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用換元法結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式以及兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．