Question

2．下列關(guān)于函數(shù)f（x）=（2x-x²）e^x的判斷正確的是①②（填寫所有正確的序號(hào)）．
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（-$\sqrt{2}$）是極小值，f（$\sqrt{2}$）是極大值；③f（x）沒有最小值，也沒有最大值．

Answer 1

分析 ①由e^x＞0，f（x）＞0化為2x-x²＞0，即x（x-2）＜0，解出即可得出；
②f′（x）=e^x（2-x²），分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出即可得出單調(diào)性極值；
③由②可知：x→+∞時(shí)，f（x）→-∞；x→-∞時(shí)，f（x）→0．即可判斷出．

解答 解：①∵e^x＞0，∴f（x）＞0化為2x-x²＞0，即x（x-2）＜0，解得0＜x＜2．其解集為{x|0＜x＜2}，因此正確；
②f′（x）=e^x（2-x²），令f′（x）＞0，解得$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得$x＞\sqrt{2}$或x$＜-\sqrt{2}$，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=-$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）取得極小值；當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）取得極大值．∴②正確．
③由②可知：x→+∞時(shí)，f（x）→-∞；x→-∞時(shí)，f（x）→0．可知：f（x）沒有最小值，但是有最大值．因此不正確．
綜上可得：①②正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性集極值與最值、一元二次不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．