Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x+b（a，b∈R）．
（I）若函數(shù)f（z）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x-y+2=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，2〕上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出導數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得a，b的方程組，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）由題意可得f′（x）≥0在（0，2）恒成立，即有$\frac{1}{x}$-ax-2≥0，即a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$的最小值，運用配方即可得到最小值．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x+b的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2，
由在點（1，f（1））處的切線方程為x-y+2=0，
可得1-a-2=1，f（1）=-$\frac{1}{2}$a-2+b=3，
解得a=-2，b=4；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，2〕上單調(diào)遞增，即為f′（x）≥0在（0，2）恒成立，即有$\frac{1}{x}$-ax-2≥0，
即a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$的最小值，
由$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，當x=1∈（0，2）時，取得最小值-1．
則a≤-1．即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離，屬于中檔題．