Question

13．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上運(yùn)動(dòng)，且PA=r（0＜r＜$\sqrt{3}$），記點(diǎn)P的軌跡長度為f（r）．給出以下四個(gè)命題：
①f（1）=$\frac{3}{2}$π；②f（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{3}π$；③f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π；
④函數(shù)f（r）在（0，1）上是增函數(shù)，f（r）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)．其中為真命題的是（　�。�

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 由題意畫出圖形并得出相應(yīng)的解析式，畫出其圖象，經(jīng)過討論即可得出答案，

解答 解：如圖所示：
（1）當(dāng)0＜r≤1時(shí)，f（r）=3×$\frac{π}{2}$×r=$\frac{3π}{2}$r，
（2）當(dāng)1＜r≤$\sqrt{2}$時(shí)，在平面ABCD內(nèi)，設(shè)以點(diǎn)A為圓心，r為半徑的圓弧與BC、CD分別交于點(diǎn)E、F，則
cos∠DAF=$\frac{1}{r}$，∠EAF=$\frac{π}{2}$-2∠DAF，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2$\sqrt{1-\frac{1}{{r}^{2}}}$×$\frac{1}{r}$=$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$，
cos∠EAG=$\frac{2{r}^{2}-（\sqrt{2}\sqrt{{r}^{2}-1}）^{2}}{2{r}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$，
∴f（r）=3r•arccos$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$+3r•arccos$\frac{1}{{r}^{2}}$；
（3）當(dāng)$\sqrt{2}$＜r≤$\sqrt{3}$時(shí)，
∵CM=$\sqrt{{r}^{2}-2}$，
∴C₁M=C₁N=1-$\sqrt{{r}^{2}-2}$，
∴cos∠MAN=$\frac{2{r}^{2}-{[\sqrt{2}（1-\sqrt{{r}^{2}-2}）]}^{2}}{2{r}^{2}}$=$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
∴f（r）=3rarccos$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
故f（1）=$\frac{3π}{2}$，故①正確；
f（$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$•arccos1+3$\sqrt{2}$•arccos$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$π，故②錯(cuò)誤；
f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=2$\sqrt{3}$•arccos$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2$\sqrt{3}$•arccos$\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}π$+2$\sqrt{3}$•arccos$\frac{3}{4}$≠$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，故③錯(cuò)誤；
函數(shù)f（r）在（0，1）上是增函數(shù)，f（r）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，故④正確；
故正確的命題為：①④
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了棱柱的幾何特征，三角函數(shù)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．