Question

3．下列函數(shù)中，對(duì)于任意x∈R，同時(shí)滿足條件f（x）=f（-x）和f（x+π）=f（x）的函數(shù)是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=sin2x
• C． f（x）=cosx
• D． f（x）=cos2x

Answer 1

分析 根據(jù)題意，要求函數(shù)滿足條件f（x）=f（-x）和f（x+π）=f（x），則該函數(shù)必須是偶函數(shù)且周期為π，據(jù)此由三角函數(shù)的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)四個(gè)函數(shù)的奇偶性與周期性即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，要求函數(shù)滿足條件f（x）=f（-x）和f（x+π）=f（x），則該函數(shù)必須是偶函數(shù)且周期為π，
據(jù)此依次分析選項(xiàng)可得：
對(duì)于A、f（x）=sinx是奇函數(shù)且周期為2π，不符合題意；
對(duì)于B、f（x）=sin2x是奇函數(shù)且周期為$\frac{2π}{2}$=π，不符合題意；
對(duì)于C、f（x）=cosx是偶函數(shù)且周期為2π，不符合題意；
對(duì)于D、f（x）=cos2x是偶函數(shù)且周期為$\frac{2π}{2}$=π，符合題意；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由f（x）=f（-x）和f（x+π）=f（x）分析出函數(shù)的周期與奇偶性．