Question

14．設(shè)函數(shù)y=sinx在區(qū)間$[t，t+\frac{π}{2}]$上的最大值為M（t），最小值為m（t），則M（t）-m（t）的最小值和最大值分別為（　�。�

• A． 1，2
• B． $1，\sqrt{2}$
• C． $1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1$
• D． $1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)當(dāng)函數(shù)y=sinx在區(qū)間$[t，t+\frac{π}{2}]$上單調(diào)時(shí)，則M（t）-m（t）取得最大值，由此求得M（t）-m（t）的最大值；當(dāng)區(qū)間$[t，t+\frac{π}{2}]$關(guān)于它的圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，M（t）-m（t）取得最小值，從而求得M（t）-m（t）的最小值．

解答 解：函數(shù)y=sinx在區(qū)間$[t，t+\frac{π}{2}]$上的最大值為M（t），最小值為m（t），
區(qū)間的長(zhǎng)度為$\frac{π}{2}$，正好為函數(shù)的周期的$\frac{1}{4}$，
故當(dāng)函數(shù)y=sinx在區(qū)間$[t，t+\frac{π}{2}]$上單調(diào)時(shí)，則M（t）-m（t）取得最大值．
不妨假設(shè)函數(shù)y=sinx在區(qū)間$[t，t+\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞增，
則M（t）-m（t）取得最大值為sin（t+$\frac{π}{2}$）-sint=cost-sint=$\sqrt{2}$cos（t+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
故M（t）-m（t）取得最大值為$\sqrt{2}$．
當(dāng)區(qū)間$[t，t+\frac{π}{2}]$關(guān)于它的圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，M（t）-m（t）取得最小值，
此時(shí)，sin（t+$\frac{π}{4}$）=±1，不妨設(shè) sin（t+$\frac{π}{4}$）=1，即t+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即 t=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
則M（t）-m（t）取得最小值為sin（t+$\frac{π}{4}$）-sint=1-sin（2kπ+$\frac{π}{4}$）=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故M（t）-m（t）的最小值和最大值分別為1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的單調(diào)性、圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．