Question

19．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{3}^{-x}，x≥0}\\{{3}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，則當(dāng)x∈[1-a，+∞）時，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可將x∈[1-a，+∞）時，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為x＞a恒成立，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，易得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{3}^{-x}，x≥0}\\{{3}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

由圖可得，函數(shù)在R上為增函數(shù)，且為奇函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[1-a，+∞）時，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，
∴當(dāng)x∈[1-a，+∞）時，不等式f（x-2a）＞-f（x）=f（-x）恒成立，
則1-a≤-x＜x-2a，
即1-a＞a，解得a＜$\frac{1}{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中利用函數(shù)的性質(zhì)，將已知中的不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為x＞a恒成立，是解答的關(guān)鍵．