Question

6．已知$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），且ω＞0，設(shè)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，f（x）的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{2}$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量和三角函數(shù)的知識可得f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），由圖象可得周期T=π，可得ω值，可得解析式，可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由題意可得A=$\frac{π}{3}$，可得△ABC面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，由基本不等式可得．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），且ω＞0，
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+$\sqrt{3}$cosωx•2sinωx
=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$cosωxsinωx=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∵f（x）的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{2}$，
∴周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，∴2ω=$\frac{2π}{T}$=2，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]；
（Ⅱ）∵b+c=4，f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴由三角形內(nèi)角的范圍可得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
△ABC面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{b+c}{2}$）²=$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號，此時(shí)三角形為正三角形，
∴△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角形函數(shù)的單調(diào)性和面積以及基本不等式，屬中檔題．