Question

9．已知x，y滿足約柬條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$，當目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取到最小值2時，則$\frac{3}{a}$+$\frac{2}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{25}{6}$
• B． 4$+\sqrt{3}$
• C． 4$+2\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由約束條件正常可行域，然后求出使目標函數(shù)取得最小值的點的坐標，代入目標函數(shù)得到2a+b=2．再由乘1法和基本不等式，即可得到所求的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$，作可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得：A（2，1）．
化目標函數(shù)為直線方程得：y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$（b＞0）．
由圖可知，當直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$過A點時，
直線在y軸上的截距最小，z最小．
則2a+b=2，
即有$\frac{3}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{3}{a}$+$\frac{2}$）×1=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{a}$+$\frac{2}$）（2a+b）
=$\frac{1}{2}$（8+$\frac{4a}$+$\frac{3b}{a}$）≥$\frac{1}{2}$（8+2$\sqrt{\frac{4a}•\frac{3b}{a}}$）
=$\frac{1}{2}$×（8+4$\sqrt{3}$）=4+2$\sqrt{3}$（當且僅當2a=$\sqrt{3}$b=3-$\sqrt{3}$，取得最小值）．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了基本不等式的應(yīng)用，是中檔題．