Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax+2，且f（x）在x=-1處取極大值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：當(dāng)k＜1時，曲線y=f（x）+10x與直線y=kx-2只有一個交點．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值，導(dǎo)函數(shù)值為0，即可求出a．
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³-3x²+（1-k）x+4，求出導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x≤0時，g（x）在（-∞，0]單調(diào)遞增，由“零點存在性定理”知：g（x）=0有唯一實根．當(dāng)x＞0時，令h（x）=x³-3x²+4，通過函數(shù)的單調(diào)性，推出曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點．得到結(jié)果．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6x+a，f′（-1）=9+a
因為f（x）在x=-1處取極大值，
所以f′（-1）=0．
∴a=-9．
（2）證明：由（1）知y=f（x）+10x=x³-3x²+x+2，
設(shè)g（x）=x³-3x²+（1-k）x+4（構(gòu)造函數(shù)）
∴g′（x）=3x²-6x+（1-k）
討論：
①當(dāng)x≤0時，∴g′（x）=3x²-6x+（1-k）=3（x-1）²-k-2＞0，
所以：g（x）在（-∞，0]單調(diào)遞增，
而g（-1）=k-1＜0，g（0）=4，
由“零點存在性定理”知：g（x）=0在（-∞，0]上有唯一零點，即唯一實根．
②當(dāng)x＞0時，令h（x）=x³-3x²+4，
∴g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）（由題設(shè)知1-k＞0）
而h′（x）=3x（x-2）h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）＞h（x）≥h（2）=0
所以g（x）=0在（0，+∞）上沒有實根．
綜上，g（x）=0在R有唯一實根，
即曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，同時開始函數(shù)的零點的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．