Question

13．求證：$\frac{1}{2-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}＜\frac{5}{3}（n∈{N}^{*}）$．

Answer 1

分析 通過當n≥3時，利用$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{6×{2}^{n-3}}$放縮、計算即得結論．

解答 證明：記a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，則當n≥3時，a_n＜$\frac{1}{6×{2}^{n-3}}$，
∴$\frac{1}{2-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{6×{2}^{n-3}}$
=$\frac{4}{3}$+$\frac{\frac{1}{6}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）
＜$\frac{5}{3}$，
即$\frac{1}{2-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}＜\frac{5}{3}（n∈{N}^{*}）$．

點評 本題考查不等式的證明，利用放縮法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．