Question

14．在△ABC中，若sinB、cos$\frac{A}{2}$、sinC成等比數列，則此三角形的形狀是等腰三角形．

Answer 1

分析 由題意和等比數列可得cos²$\frac{A}{2}$=sinBsinC，由三角函數公式化簡可得B=C，可得等腰三角形．

解答 解：∵在△ABC中sinB、cos$\frac{A}{2}$、sinC成等比數列，
∴cos²$\frac{A}{2}$=sinBsinC，∴$\frac{1+cosA}{2}$=sinBsinC，
∴1+cosA=2sinBsinC，∴1-cos（B+C）=2sinBsinC，
∴1-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC，
∴cosBcosC+sinBsinC=1，即cos（B-C）=1，
由三角形內角的范圍可得B-C=0，即B=C，
∴△ABC為等腰三角形．
故答案為：等腰．

點評 本題考查三角形形狀的判斷，涉及等比數列和三角函數化簡，屬中檔題．