Question

4．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n，a_n，2成等差數(shù)列．
（I）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{5}}+$…$+\frac{1}{{a}_{2n-1}}$．

Answer 1

分析 （I）易知2a_n=S_n+2，從而可得S_n=2a_n-2，從而證明．
（Ⅱ）由（I）知a_n=2ⁿ，從而可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，從而利用等比數(shù)列前n項和公式求解．

解答 解：（I）證明：∵S_n，a_n，2成等差數(shù)列，
∴2a_n=S_n+2，
即S_n=2a_n-2，
①當(dāng)n=1時，a₁=2a₁-2，
解得，a₁=2；
②當(dāng)n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1
=2a_n-2-（2a_n-1-2），
故a_n=2a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（I）知，a_n=2ⁿ，
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{5}}+$…$+\frac{1}{{a}_{2n-1}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{32}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．

點評 本題考查了等比數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的化簡運(yùn)算能力．