Question

13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F的拋物線E：x²=2py（p＞0）上不同兩點(diǎn)A、B均在第一象限．B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，△OFA的外接圓圓心為Q，且$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{32}$
（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）兩不同點(diǎn)A、B均在第一象限內(nèi)，B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，設(shè)直線OA、OB的傾角分別為α、β，且α+β=$\frac{π}{2}$
①證明：直線AC過定點(diǎn)；
②若A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，求△ABC的外接圓方程．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積公式，求出p，即可求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＞0），則直線OC的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，與x²=y聯(lián)立，求出A，C的坐標(biāo)，可得直線AC的方程，即可證明：直線AC過定點(diǎn)；
②若A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，可得A，B，C的坐標(biāo)，即可求△ABC的外接圓方程．

解答 （1）解：∵△OFA的外接圓圓心為Q，且$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{32}$，
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OF}$|²=$\frac{1}{32}$，
∴|$\overrightarrow{OF}$|=$\frac{1}{4}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程x²=y；
（2）①證明：設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＞0），則直線OC的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，
y=kx與x²=y聯(lián)立，可得A（k，k²），y=-$\frac{1}{k}$x與x²=y聯(lián)立，可得C（-$\frac{1}{k}$，$\frac{1}{{k}^{2}}$），
∴直線AC的方程為y-k²=$\frac{{k}^{2}-\frac{1}{{k}^{2}}}{k+\frac{1}{k}}$（x-k），即y=（k-$\frac{1}{k}$）x+1，
令x=0，可得y=1，直線AC過定點(diǎn)（0，1）；
②解：由①，∵A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，
∴$\frac{2}{k}$=k-$\frac{1}{k}$，
∵k＞0，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，3），B（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$），
設(shè)△ABC的外接圓方程的圓心坐標(biāo)為（0，b），則（0-$\sqrt{3}$）²+（b-3）²=（0-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+（b-$\frac{1}{3}$）²，
∴b=$\frac{13}{6}$，r²=$\frac{133}{36}$，
∴△ABC的外接圓方程的方程為x²+（y-$\frac{13}{6}$）²=$\frac{133}{36}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．