Question

5．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦點(diǎn)，過F₁且斜率不為零的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求△AF₁F₂的周長；
（Ⅱ）若存在直線l，使得直線F₂A，AB，F(xiàn)₂B與直線x=-$\frac{1}{2}$分別交于P，Q，R三個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足P，Q，R到x軸的距離依次成等比數(shù)列，求該直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）△AF₁F₂的周長為|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|；
（Ⅱ）由題意得l不垂直兩坐標(biāo)軸，故設(shè)l的方程為y=k（x+1）（k≠0），因?yàn)镻，Q，R到x軸的距離依次成等比數(shù)列，所以|y_P|•|y_R|=|y_Q|²，聯(lián)立y=k（x+1）與橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的長軸長2a=2$\sqrt{2}$，焦距2c=2．
又由橢圓的定義得|AF₁|+|AF₂|=2a
所以△AF₁F₂的周長為|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$+2
（Ⅱ）由題意得l不垂直兩坐標(biāo)軸，故設(shè)l的方程為y=k（x+1）（k≠0）
于是直線l與直線x=-$\frac{1}{2}$交點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為y_Q=$\frac{k}{2}$
設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），顯然x₁，x₂≠1，
所以直線F₂A的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1）
故直線F₂A與直線x=-$\frac{1}{2}$交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y_P=$\frac{-3{y}_{1}}{2（{x}_{1}-1）}$
同理，點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為y_R=$\frac{-3{y}_{2}}{2（{x}_{2}-1）}$
因?yàn)镻，Q，R到x軸的距離依次成等比數(shù)列，所以|y_P|•|y_R|=|y_Q|²
即|$\frac{-3{y}_{1}}{2（{x}_{1}-1）}$×$\frac{-3{y}_{2}}{2（{x}_{2}-1）}$|=$\frac{{k}^{2}}{4}$
整理得9|x₁x₂+（x₁+x₂）+1|=|x₁x₂-（x₁+x₂）+1|．（*）
聯(lián)立y=k（x+1）與橢圓方程，消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
所以x₁+x₂=$\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$
代入（*）化簡(jiǎn)得|8k²-1|=9
解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$
經(jīng)檢驗(yàn)，直線l的方程為y═±$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．